Game
下面的这个 party game 的创意来自于清华大学的一位同学。
现在有 \(n\) 个人玩一个游戏，需要一个裁判/上帝/法官。
- 开局时，裁判使用某种方法随机生成一个词语（可以采用《谁是卧底》生成器，但只需要一个词），然后在 \(n\) 个人中随机两个，分别叫做“卧底”和“先知”。裁判会让这两个有身份的人知道这个词是什么；其他人（称作“平民”）不知道这个词是什么。先知和平民属于同一个阵营；卧底属于自己的阵营。
- 游戏过程中，玩家之间可以互相交流。
- \(n\)
个玩家坐成一圈，从某个人开始逆时针转，每个人轮流向裁判提一个是否问题，这个问题需要和词语相关。例如，可以问“这个词是不是两个字的”“这个词是不是一个名词”“这个词是不是一种饮料”“这个饮料是不是一般冰着喝”“大学生喝不喝这个东西”“这个词是不是「白兰地」”等。
- 这一问题必须是 1bit 回答的，且必须是“是否”问题，例如“这个东西是固体还是液体”不合法。
- 裁判必须尽合理努力回答这一问题，例如“这个饮料是不是冰着喝”可以百度搜索回答；但对于“大部分大学生会不会经常喝这个东西”这种不能简单找到答案的，裁判可以回答“不知道”。这种问题视作轮空。
- 玩家可以主动轮空，但连续 \(n-1\) 次轮空之后，下一个人必须提问。
- “这个词是不是「某某」”这种问题如果收到 yes 的答案，即平民阵营猜出来了这个词，游戏进入终局 A。
- 裁判会记录回答“是”“否”的次数（例如上面的六个问题，答案是 no yes yes yes no no 的话，就是“是”“否”各三次），这两个计数器一旦到达 \(C_\mathrm{max}=10\)，游戏会进入终局 B。
- 终局 A：平民阵营猜出来了隐含词是什么。此时，卧底揭示自己的身份，然后必须进行一个猜测：猜测谁是先知。如果卧底猜中，卧底胜利；否则平民阵营胜利。
- 终局 B：是否计数器中的任何一个到达 10。此时，所有玩家进行一次投票，每个玩家可以选择另一个玩家（或者弃票）。投票结果中，如果卧底被众数票票出，则平民阵营胜利（多个众数票时，只要卧底在其中就算）；否则，卧底胜利。
下面是一局游戏的例子。这是我们今晚约饭的时候的真实游戏记录（但我可能忘记许多）。注意下面的很多用词都非常精确，有悖于正常人派对游戏的风格。由于约饭只有四个人，因此 \(n=3\)。
玩家是甲乙丙三人，裁判是我。
裁判发牌。玩家身份和答案词语在这一段记录的最末尾，如果想自己观察游戏猜测的话可以先不看。注意下面不以“某某提问”开头的句子都是游戏中自由讨论。
甲提问：这是一个汉语的正常词汇吗？
裁判：是的，1-0。
丙：你这提问也太浪费了吧……那肯定是词语啊。
裁判（解释）：这是某个谁是卧底生成器里面的东西，还算是比较规整的词语。乙提问：这是一个真实存在的东西吗？或者说，这个东西是物理上存在的吗？
裁判：是的，2-0。丙提问：这个词语是四到六个字的吗？
裁判：不是，2-1。甲提问：这个词语是三个字的吗？
裁判：是的，3-1。乙提问：你能不能在两个小时内获取到这个东西？
裁判：这什么意思啊？
乙：如果我要求你这么做，你能不能从现在开始两个小时以内，购买或者获取到这个词语描述的东西，然后回到这个地方？
裁判：可以吧，4-1。丙：我现在是不是应该搞一个答案是否定的来平衡一下
甲：是的吧，否则后面问题就局限比较大。
丙提问：这个词是那种前面一个形容词那种修饰后面的名词的结构吗？
裁判（迷糊）：我猜你说的是偏正短语……它不是偏正结构。4-2。甲提问：这个东西可以吃吗？
裁判：什么叫吃呢？
甲：就字面意思啊，常用意思。
裁判（犹豫很久，思考）：如果你说是可以放到嘴里并且咽下去的话……
甲（打断）：就吃啊，吃，吃饭的吃！
裁判：那好吧，那就“不能吃”，4-3。乙提问：多数大学生能不能接触到这个东西？
裁判：可以，5-3。丙提问：这个东西可以在化工厂里见到吗？是化工原料吗？
裁判：你这是两个问题，我回答第一个。不能。5-4。甲提问：这是鸡尾酒吗？
裁判：不是。5-5。
丙：你这前面不是都问过能不能吃了吗？乙提问：一家餐馆会提供这个东西吗？
裁判：我把“一家餐馆”理解成存在量词，是的，有餐馆会提供这个东西。6-5.丙：诶，不是说不能吃吗？
乙：这个应该是喝的吧，你看裁判那个问题思考了这么久，肯定是在判断吃是否包含喝。
丙：那么
丙提问：这个东西的主要成分在 \(0.9\) 个大气压下的沸点是否高于纯水在 \(1\) 个大气压下的沸点？
裁判：你一定要问这种问题吗……否，6-6.甲：算了，我就问一下吧。
甲提问：这个东西是不是饮料？
裁判：是的，7-6.乙提问：清华里面能不能买到？
裁判：我又不是清华的，我怎么知道。我把你的问题理解成“北大里面能不能买到”行吗？
乙：虽然没什么信息，但也可以吧。
裁判：能买到，8-6.甲：这计数器有点危险啊，问点期望否定的问题吧。
丙：好的。提问：这个词的第一个字是不是第一声？
裁判：不是第一声，8-7. 语言学信息和别的信息是正交的吧？你这信息有什么任何用处吗？
丙：可以排除一些猜测嘛。甲：我提问可以主动翻转布尔方向来改变分布的吧，就问一个问题的反面
裁判：可以的吧。
甲提问：这个是不是 不是酒？
乙：什么是酒是不是有歧义的啊。
甲：就，（比划）那种直接酿造或者勾兑的酒精饮料……
裁判：它是一般意义下的酒，你的问题答案是负面的，8-8.乙：快到决赛圈了啊。
丙：我怎么一个都想不出来啊，
甲：这个剩下的可能性反而很多吧。
乙：真的吗？
乙提问：多数大学生会不会日常、经常喝这种东西？
裁判：我怎么知道「多数大学生」怎样行为啊。无效问题，pass。丙提问：大部分人在喝这种东西的时候，是不是在 \(15\) 摄氏度以下的温度喝的？
裁判：草，怎么你老是问这种问题。（打开百度百科）是的，这个东西一般是冰着喝的。9-8。甲：我最近一个月喝过这种东西吗？
裁判：不知道，我怎么知道你喝过什么，无效问题 pass。乙提问：这个东西的原产地、发源地、酿造地点或者主要生产地是否不在国外？
裁判：怎么你们提问一个个都说的这么滴水不漏，服了。否定，它是国外饮料。9-9，决赛圈了，丙你认真想想。丙：靠，这很多啊，什么伏特加、朗姆酒、白兰地之类的。
乙：那你为什么不猜一个啊，反正都决赛圈了，也不用关心答案偏好什么的。
丙：但问题是我如果猜到了，是不是卧底至少有 50% 胜率啊。反而我没猜到的话我可以读身份来增大胜率？
甲&乙：是哦。
丙：那我摆烂了行不行啊。
甲：行的吧，没人拦得住你。
丙提问：这个词语是不是「易建联」？
裁判（大笑不止）：草，不是，9-10，进入投票环节。
裁判：你们三个 QQ 私聊我投票。甲投给了乙，乙、丙投给了甲。终局 B 游戏结束，好人阵营胜利。甲是卧底，乙是先知。答案词语是「伏特加」。
Hack
游戏中有两个终局，A 与 B，其中 A 是卧底猜先知身份、B 是全员猜卧底身份。
我们在游戏中发现了一个结论：好人方只要猜词猜出来了，进入终局 A，那么卧底就有 \(\frac{1}{n-1}\) 的胜率下界；在 \(n=3\) 时尤其严重，这个胜率达到了 50%。因此，在人较少的时候，好人阵营甚至不愿意真的把词猜出来。
但是我们观察到，由于卧底知道答案，实际上卧底可以一开局完全不管别人任何信息、轮到自己就直接问裁判“这个词是不是｛答案｝”，进而直接进入终局 A、强行获得 \(\frac{1}{n-1}\) 胜率。因此，卧底具有终局 A 的胜率下界保证。
那么我们现在来分析一下 \(n=3\) 的时候，如果不进入终局 A，好人阵营可以怎么最大化自己的胜率。我们可以简单地发现一个胜率不低于一半的协议：
- 每个人都摆烂，提出毫无用处的负面回答问题（“这个词是否既是两个字的又是三个字的？”），直到 0-9。
- 0-9
时，平民空过（“上帝是否祝愿这个词？”），那么要么轮到先知、要么轮到卧底。这里轮到谁取决于开局随机排座次，因此一半一半。
- 轮到先知时，先知提问自证身份、但不触发终局 A（“这个词是否不是｛答案｝？”），然后指挥剩下两个人互相投票。由于平票也算卧底，此时无论卧底是否遵守指挥，都会输。
- 轮到卧底时，其可以选择进入终局 A 或
B。（此时先知不会暴露身份；暴露了就会被终局 A 直接带走。）终局 A
结果已经知道了。卧底假装自己是先知，进入终局 B 时，指挥两人互投，
- 平民投先知。先知由于自己知道身份、一定投卧底。
- 此时卧底可以随机选一个人投票，具有 50% 胜率。
上述协议如果不被卧底直接终局 A 破坏，好人阵营具有 75% 胜率，因此卧底不会允许这件事情发生。因此结论是，卧底的最优策略是直接开局的时候自爆，然后随机抽一个人。换言之，一个本来有着详细规则的 party game 的一个退化情况直接变成了抛硬币游戏。
所以结论是，派对推理游戏可能还是人多一点比较好玩。