问题简介
要求复杂度在
具体的描述与样例可以看 LOJ #122 。
算法描述
首先,如果这张图是树,那么动态树的维护是熟知的。
朴素的想法
我们只要取这张图上的(任何)一个生成森林
图上的
图上的
更加朴素的想法
在我们找重连边时,一个 brute-force
的算法就是寻找一侧连通块所连出的所有出边,按某固定的顺序从前往后判断能不能重连。对这个算法的一个简单的
hack 是,假设知道切断
由此我们自然想到,给每条边一个“不重要度”,每次一条边没有成功重连的时候把它的不重要度提升,以标记它们在某些情况下没有用。
优秀的想法
我们给每个边一个等级
记
- 性质
: 始终是 的生成森林;也即, 的连通性与 相同。注意到这条性质等于是说, 是 上以 为边权的最大生成树(证明:考虑 Kruskal 算法过程)。 - 性质
: 的每个连通块大小至多是 。这可以用于保证边权上界是 。
一条树边
可以发现,由于性质
为了保证最大生成树性质,我们按
这之后,寻找所有
如果在
分析
上述过程中,我们可以发现:
- 每条边只被上移了
次;这是因为 。 - 均摊来看,每条边只出现在
次 里;这是因为 每次没有成功重连,都会把边上移,然后可以由 1. 推出。 - 同样由于等级上限限制,将一条边设为树边只需要做
次树操作。 - 每次树操作都是可以用 ETT, LCT, Top Tree
之一完成,故“一次树操作”复杂度是
。
综上,该算法的修改(均摊)复杂度是
实现的一些细节
由于
另外,为了处理点和边之间的一大堆复杂的关系,可能需要若干个辅助
map
来记录点到边、点到层、层到边、边到点之间的对应关系,以及互相在某些列表里面的位置以便删除等等,在此不细讲。
代码
这里有一份 anta
写作的代码,取自于此处。代码风格很赞,就是比较长,可读性不太佳。里面有一些日语的注释,可以结合着谷歌翻译看一看。为了卡常,里面写了高贵的自底向上非旋转
Treap。其中的 HolmDeLichtenbergThorup::replace(int,int,int)
是算法核心。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <numeric>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cassert>
#define rep(i,n) for(int (i)=0;(i)<(int)(n);++(i))
#define rer(i,l,u) for(int (i)=(int)(l);(i)<=(int)(u);++(i))
#define reu(i,l,u) for(int (i)=(int)(l);(i)<(int)(u);++(i))
#if defined(_MSC_VER) || __cplusplus > 199711L
#define aut(r,v) auto r = (v)
#else
#define aut(r,v) typeof(v) r = (v)
#endif
#define each(it,o) for(aut(it, (o).begin()); it != (o).end(); ++ it)
#define all(o) (o).begin(), (o).end()
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair((x),(y))
#define mset(m,v) memset(m,v,sizeof(m))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define INFL 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL
using namespace std;
typedef vector<int> vi; typedef pair<int,int> pii; typedef vector<pair<int,int> > vpii;
typedef long long ll; typedef vector<long long> vl; typedef pair<long long,long long> pll; typedef vector<pair<long long,long long> > vpll;
typedef vector<string> vs; typedef long double ld;
template<typename T, typename U> inline void amin(T &x, U y) { if(y < x) x = y; }
template<typename T, typename U> inline void amax(T &x, U y) { if(x < y) x = y; }
struct Xor128 {
unsigned x, y, z, w;
(): x(123456789), y(362436069), z(521288629), w(88675123) { }
Xor128unsigned next() {
unsigned t = x ^ (x << 11);
= y; y = z; z = w;
x return w = w ^ (w >> 19) ^ (t ^ (t >> 8));
}
//手抜き
inline unsigned next(unsigned n) { return next() % n; }
};
//bottom upなTreap
//脱再帰!
//randomized binary searchにするにはchoiceRandomlyを
// bool choiceRandomly(Ref l, Ref r) { return rng.next(l->size + r->size) < l->size; }
//に書き換えるだけでよい。
template<typename Node>
struct BottomupTreap {
;
Xor128 rngtypedef Node *Ref;
static int size(Ref t) { return !t ? 0 : t->size; }
unsigned nextRand() { return rng.next(); }
private:
bool choiceRandomly(Ref l, Ref r) {
return l->priority < r->priority;
}
public:
Ref join(Ref l, Ref r) {
if(!l) return r;
if(!r) return l;
= NULL;
Ref t unsigned long long dirs = 0;
int h;
for(h = 0; ; ++ h) {
if(h >= sizeof(dirs)*8 - 2) {
//dirsのオーバーフローを防ぐために再帰する。
//あくまでセーフティガードなのでバランスは多少崩れるかもしれない
= join(l->right, r->left);
t = dirs << 2 | 1;
dirs ++;
h break;
}
<<= 1;
dirs if(choiceRandomly(l, r)) {
= l->right;
Ref c if(!c) {
= r;
t = r->parent;
r break;
}
= c;
l }else {
|= 1;
dirs = r->left;
Ref c if(!c) {
= l;
t = l->parent;
l break;
}
= c;
r }
}
for(; h >= 0; -- h) {
if(!(dirs & 1)) {
= l->parent;
Ref p = l->linkr(t);
t = p;
l }else {
= r->parent;
Ref p = r->linkl(t);
t = p;
r }
>>= 1;
dirs }
return t;
}
typedef std::pair<Ref,Ref> RefPair;
//l<t≦rの(l,r)に分割する
RefPair split2(Ref t) {
, l = t->left, r = t;
Ref p::cut(l); t->linkl(NULL);
Nodewhile(p = t->parent) {
->parent = NULL;
tif(p->left == t)
= p->linkl(r);
r else
= p->linkr(l);
l = p;
t }
return RefPair(l, r);
}
//l<t<rの(l,t,r)に分割する。(l,r)を返す
RefPair split3(Ref t) {
, l = t->left, r = t->right;
Ref p::cut(l), Node::cut(r);
Node->linklr(NULL, NULL);
twhile(p = t->parent) {
->parent = NULL;
tif(p->left == t)
= p->linkl(r);
r else
= p->linkr(l);
l = p;
t }
return RefPair(l, r);
}
Ref cons(Ref h, Ref t) {
assert(size(h) == 1);
if(!t) return h;
= NULL;
Ref u while(true) {
if(choiceRandomly(h, t)) {
= t->parent;
Ref p = h->linkr(t);
u = p;
t break;
}
= t->left;
Ref l if(!l) {
= h;
u break;
}
= l;
t }
while(t) {
= t->linkl(u);
u = t->parent;
t }
return u;
}
};
//free treeのために、辺を基本として扱う
class EulerTourTreeWithMarks {
struct Node {
typedef BottomupTreap<Node> BST;
*left, *right, *parent;
Node int size;
unsigned priority;
char marks, markUnions; //0ビット目がedgeMark, 1ビット目がvertexMark
(): left(NULL), right(NULL), parent(NULL),
Node(1), priority(0), marks(0), markUnions(0) { }
size
inline Node *update() {
int size_t = 1, markUnions_t = marks;
if(left) {
size_t += left->size;
markUnions_t |= left->markUnions;
}
if(right) {
size_t += right->size;
markUnions_t |= right->markUnions;
}
= size_t, markUnions = markUnions_t;
size return this;
}
inline Node *linkl(Node *c) {
if(left = c) c->parent = this;
return update();
}
inline Node *linkr(Node *c) {
if(right = c) c->parent = this;
return update();
}
inline Node *linklr(Node *l, Node *r) {
if(left = l) l->parent = this;
if(right = r) r->parent = this;
return update();
}
static Node *cut(Node *t) {
if(t) t->parent = NULL;
return t;
}
static const Node *findRoot(const Node *t) {
while(t->parent) t = t->parent;
return t;
}
static std::pair<Node*,int> getPosition(Node *t) {
int k = BST::size(t->left);
*p;
Node while(p = t->parent) {
if(p->right == t)
+= BST::size(p->left) + 1;
k = p;
t }
return std::make_pair(t, k);
}
static const Node *findHead(const Node *t) {
while(t->left) t = t->left;
return t;
}
static void updatePath(Node *t) {
while(t) {
->update();
t= t->parent;
t }
}
};
typedef Node::BST BST;
;
BST bst
std::vector<Node> nodes;
//各頂点に対してその頂点から出ているarcを1つだけ代表として持つ(無い場合は-1)
//逆にarcに対して対応する頂点はたかだか1つである
std::vector<int> firstArc;
//辺・頂点に対する属性
std::vector<bool> edgeMark, vertexMark;
inline int getArcIndex(const Node *a) const { return a - &nodes[0]; }
inline int arc1(int ei) const { return ei; }
inline int arc2(int ei) const { return ei + (numVertices() - 1); }
public:
inline int numVertices() const { return firstArc.size(); }
inline int numEdges() const { return numVertices() - 1; }
inline bool getEdgeMark(int a) const {
return a < numEdges() ? edgeMark[a] : false;
}
inline bool getVertexMark(int v) const {
return vertexMark[v];
}
private:
void updateMarks(int a, int v) {
*t = &nodes[a];
Node ->marks = getEdgeMark(a) << 0 | getVertexMark(v) << 1;
t::updatePath(t);
Node}
//firstArcの変更に応じて更新する
void firstArcChanged(int v, int a, int b) {
if(a != -1) updateMarks(a, v);
if(b != -1) updateMarks(b, v);
}
public:
class TreeRef {
friend class EulerTourTreeWithMarks;
const Node *ref;
public:
() { }
TreeRef(const Node *ref_): ref(ref_) { }
TreeRefbool operator==(const TreeRef &that) const { return ref == that.ref; }
bool operator!=(const TreeRef &that) const { return ref != that.ref; }
bool isIsolatedVertex() const { return ref == NULL; }
};
void init(int N) {
int M = N - 1;
.assign(N, -1);
firstArc.assign(M * 2, Node());
nodesfor(int i = 0; i < M * 2; i ++)
[i].priority = bst.nextRand();
nodes.assign(M, false);
edgeMark.assign(N, false);
vertexMark}
TreeRef getTreeRef(int v) const {
int a = firstArc[v];
return TreeRef(a == -1 ? NULL : Node::findRoot(&nodes[a]));
}
bool isConnected(int v, int w) const {
if(v == w) return true;
int a = firstArc[v], b = firstArc[w];
if(a == -1 || b == -1) return false;
return Node::findRoot(&nodes[a]) == Node::findRoot(&nodes[b]);
}
static int getSize(TreeRef t) {
if(t.isIsolatedVertex()) return 1;
else return t.ref->size / 2 + 1;
}
void link(int ti, int v, int w) {
int a1 = arc1(ti), a2 = arc2(ti);
//v→wがa1に対応するようにする
if(v > w) std::swap(a1, a2);
int va = firstArc[v], wa = firstArc[w];
*l, *m, *r;
Node if(va != -1) {
//evert。順番を入れ替えるだけ
std::pair<Node*,Node*> p = bst.split2(&nodes[va]);
= bst.join(p.second, p.first);
m }else {
//vが孤立点の場合
= NULL;
m [v] = a1;
firstArc(v, -1, a1);
firstArcChanged}
if(wa != -1) {
std::pair<Node*,Node*> p = bst.split2(&nodes[wa]);
= p.first, r = p.second;
l }else {
//wが孤立点の場合
= r = NULL;
l [w] = a2;
firstArc(w, -1, a2);
firstArcChanged}
//w→vの辺をmの先頭=lの末尾にinsert
= bst.cons(&nodes[a2], m);
m //v→wの辺をmの末尾=rの先頭にinsert
= bst.cons(&nodes[a1], r);
r
.join(bst.join(l, m), r);
bst}
void cut(int ti, int v, int w) {
//v→wがa1に対応するようにする
if(v > w) std::swap(v, w);
int a1 = arc1(ti), a2 = arc2(ti);
std::pair<Node*,Node*> p = bst.split3(&nodes[a1]);
int prsize = BST::size(p.second);
std::pair<Node*,Node*> q = bst.split3(&nodes[a2]);
*l, *m, *r;
Node //a1,a2の順番を判定する。a1<a2ならp.secondが変わっているはず
if(p.second == &nodes[a2] || BST::size(p.second) != prsize) {
= p.first, m = q.first, r = q.second;
l }else {
//a2<a1の順番である。v→wの辺がa1であって親→子であることにする
std::swap(v, w);
std::swap(a1, a2);
= q.first, m = q.second, r = p.second;
l }
//firstArcを必要に応じて書き換える
if(firstArc[v] == a1) {
int b;
if(r != NULL) {
//vが根じゃないなら右側の最初の辺でよい
= getArcIndex(Node::findHead(r));
b }else {
//vが根なら最初の辺でよい。孤立点になるなら-1
= !l ? -1 : getArcIndex(Node::findHead(l));
b }
[v] = b;
firstArc(v, a1, b);
firstArcChanged}
if(firstArc[w] == a2) {
//wが根になるので最初の辺でよい。孤立点になるなら-1
int b = !m ? -1 : getArcIndex(Node::findHead(m));
[w] = b;
firstArc(w, a2, b);
firstArcChanged}
.join(l, r);
bst}
void changeEdgeMark(int ti, bool b) {
assert(ti < numEdges());
[ti] = b;
edgeMark*t = &nodes[ti];
Node ->marks = (b << 0) | (t->marks & (1 << 1));
t::updatePath(t);
Node}
void changeVertexMark(int v, bool b) {
[v] = b;
vertexMarkint a = firstArc[v];
if(a != -1) {
*t = &nodes[a];
Node ->marks = (t->marks & (1 << 0)) | (b << 1);
t::updatePath(t);
Node}
}
template<typename Callback>
bool enumMarkedEdges(TreeRef tree, Callback callback) const {
return enumMarks<0,Callback>(tree, callback);
}
//孤立点の場合は呼び側でその頂点だけ処理する必要がある
template<typename Callback>
bool enumMarkedVertices(TreeRef tree, Callback callback) const {
return enumMarks<1,Callback>(tree, callback);
}
private:
//callback : TreeEdgeIndex×2 -> Bool
//引数は頂点をそこからのincident arcで示し、"(正方向 ? 0 : N-1) + treeEdgeIndex"を表す。方向はv,wの大小で処理すればよい
//callbackは継続するかどうかをboolで返す。最後まで列挙し終えたかどうかを返す。
template<int Mark, typename Callback>
bool enumMarks(TreeRef tree, Callback callback) const {
if(tree.isIsolatedVertex()) return true;
const Node *t = tree.ref;
if(t->markUnions >> Mark & 1)
return enumMarksRec<Mark,Callback>(t, callback);
else
return true;
}
//平衡木なので深さは深くないので再帰して問題ない
template<int Mark, typename Callback>
bool enumMarksRec(const Node *t, Callback callback) const {
const Node *l = t->left, *r = t->right;
if(l && (l->markUnions >> Mark & 1))
if(!enumMarksRec<Mark,Callback>(l, callback)) return false;
if(t->marks >> Mark & 1)
if(!callback(getArcIndex(t))) return false;
if(r && (r->markUnions >> Mark & 1))
if(!enumMarksRec<Mark,Callback>(r, callback)) return false;
return true;
}
public:
//デバッグ用
void debugEnumEdges(std::vector<int> &out_v) const {
int M = numEdges();
for(int ti = 0; ti < M; ti ++) {
const Node *t = &nodes[ti];
if(t->left || t->right || t->parent)
.push_back(ti);
out_v}
}
};
//treeEdgeにはそれぞれ0~N-1のインデックスが与えられる。これは全てのレベルで共通。
//ところで"level up"って和製英語なんだ。promoteでいいかな。
//Sampling heuristic ランダムケースで超速く(4倍とか)なったんだけど!いいね!
//
//References
//・Holm, Jacob, Kristian De Lichtenberg, and Mikkel Thorup. "Poly-logarithmic deterministic fully-dynamic algorithms for connectivity, minimum spanning tree, 2-edge, and biconnectivity." Journal of the ACM (JACM) 48.4 (2001): 723-760.
//・Iyer, Raj, et al. "An experimental study of polylogarithmic, fully dynamic, connectivity algorithms." Journal of Experimental Algorithmics (JEA) 6 (2001): 4.
class HolmDeLichtenbergThorup {
typedef HolmDeLichtenbergThorup This;
typedef EulerTourTreeWithMarks Forest;
typedef Forest::TreeRef TreeRef;
int numVertices_m;
int numSamplings;
//DynamicTreeはコピーできないけどまあその状態で使わなきゃいいじゃんということで…
std::vector<Forest> forests;
std::vector<char> edgeLevel;
std::vector<int> treeEdgeIndex; // : EdgeIndex -> TreeEdgeIndex
std::vector<int> treeEdgeMap; // : TreeEdgeIndex -> EdgeIndex
std::vector<int> treeEdgeIndexFreeList; // : [TreeEdgeIndex]
//arcも方向はEulerTourTreeと同じようにv,wの大小に合わせる
std::vector<int> arcHead;
std::vector<std::vector<int> > firstIncidentArc;
std::vector<int> nextIncidentArc, prevIncidentArc;
//一時的に使う。使い回して使う
std::vector<bool> edgeVisited;
std::vector<int> visitedEdges; // : [EdgeIndex | TreeEdgeIndex]
int arc1(int ei) const { return ei; }
int arc2(int ei) const { return numMaxEdges() + ei; }
int arcEdge(int i) const { return i >= numMaxEdges() ? i - numMaxEdges() : i; }
bool replace(int lv, int v, int w) {
&forest = forests[lv];
Forest
= forest.getTreeRef(v), wRoot = forest.getTreeRef(w);
TreeRef vRoot assert(vRoot.isIsolatedVertex() || wRoot.isIsolatedVertex() || vRoot != wRoot);
int vSize = forest.getSize(vRoot), wSize = forest.getSize(wRoot);
int u; TreeRef uRoot; int uSize;
if(vSize <= wSize)
= v, uRoot = vRoot, uSize = vSize;
u else
= w, uRoot = wRoot, uSize = wSize;
u
//replacement edgeを探す
int replacementEdge = -1;
(forest, uRoot, u, lv, FindReplacementEdge(uRoot, &replacementEdge));
enumIncidentArcs
//"Sampling heuristic"
//早い時点で見つかったならT_u,他のincident arcsをレベルアップさせなくても計算量的に問題ない
if(replacementEdge != -1 && (int)visitedEdges.size() + 1 <= numSamplings) {
//replacementEdgeを処理する
(replacementEdge);
deleteNontreeEdge(replacementEdge);
addTreeEdgefor(int i = 0; i < (int)visitedEdges.size(); i ++)
[visitedEdges[i]] = false;
edgeVisited.clear();
visitedEdgesreturn true;
}
//見つけたincident arcsを一斉にレベルアップさせる。edgeVisitedの後処理もする
for(int i = 0; i < (int)visitedEdges.size(); i ++) {
int ei = visitedEdges[i];
[ei] = false;
edgeVisited
(ei);
deleteNontreeEdge
++ edgeLevel[ei];
(ei);
insertNontreeEdge}
.clear();
visitedEdges
//このレベルのT_uの辺を列挙する
.enumMarkedEdges(uRoot, EnumLevelTreeEdges(this));
forest//列挙したT_uの辺を一斉にレベルアップさせる
for(int i = 0; i < (int)visitedEdges.size(); i ++) {
int ti = visitedEdges[i];
int ei = treeEdgeMap[ti];
int v = arcHead[arc2(ei)], w = arcHead[arc1(ei)];
int lv = edgeLevel[ei];
[ei] = lv + 1;
edgeLevel
[lv].changeEdgeMark(ti, false);
forests[lv+1].changeEdgeMark(ti, true);
forests
[lv+1].link(ti, v, w);
forests}
.clear();
visitedEdges
if(replacementEdge != -1) {
//T_uの辺列挙の前に構造が変わると困るのでreplacementEdgeはこのタイミングで処理する
(replacementEdge);
deleteNontreeEdge(replacementEdge);
addTreeEdgereturn true;
}else if(lv > 0) {
return replace(lv-1, v, w);
}else {
return false;
}
}
struct EnumLevelTreeEdges {
*thisp;
This (This *thisp_): thisp(thisp_) { }
EnumLevelTreeEdges
inline bool operator()(int a) {
->enumLevelTreeEdges(a);
thispreturn true;
}
};
void enumLevelTreeEdges(int ti) {
.push_back(ti);
visitedEdges}
//孤立点の時特別な処理をするなどしなければいけないのでヘルパー
template<typename Callback>
bool enumIncidentArcs(Forest &forest, TreeRef t, int u, int lv, Callback callback) {
if(t.isIsolatedVertex())
return enumIncidentArcsWithVertex<Callback>(lv, u, callback);
else
return forest.enumMarkedVertices(t, EnumIncidentArcs<Callback>(this, lv, callback));
}
template<typename Callback>
struct EnumIncidentArcs {
*thisp;
This int lv;
;
Callback callback
(This *thisp_, int lv_, Callback callback_):
EnumIncidentArcs(thisp_), lv(lv_), callback(callback_) { }
thisp
inline bool operator()(int tii) const {
return thisp->enumIncidentArcsWithTreeArc(tii, lv, callback);
}
};
template<typename Callback>
bool enumIncidentArcsWithTreeArc(int tii, int lv, Callback callback) {
bool dir = tii >= numVertices() - 1;
int ti = dir ? tii - (numVertices() - 1) : tii;
int ei = treeEdgeMap[ti];
int v = arcHead[arc2(ei)], w = arcHead[arc1(ei)];
//方向を求め、そのarcのtailの頂点を取得する
int u = !(dir != (v > w)) ? v : w;
return enumIncidentArcsWithVertex(lv, u, callback);
}
//1つの頂点を処理する
template<typename Callback>
bool enumIncidentArcsWithVertex(int lv, int u, Callback callback) {
int it = firstIncidentArc[lv][u];
while(it != -1) {
if(!callback(this, it))
return false;
= nextIncidentArc[it];
it }
return true;
}
struct FindReplacementEdge {
;
TreeRef uRootint *replacementEdge;
(TreeRef uRoot_, int *replacementEdge_):
FindReplacementEdge(uRoot_), replacementEdge(replacementEdge_) { }
uRoot
inline bool operator()(This *thisp, int a) const {
return thisp->findReplacementEdge(a, uRoot, replacementEdge);
}
};
//1つのarcを処理する
bool findReplacementEdge(int a, TreeRef uRoot, int *replacementEdge) {
int ei = arcEdge(a);
if(edgeVisited[ei]) return true;
int lv = edgeLevel[ei];
= forests[lv].getTreeRef(arcHead[a]);
TreeRef hRoot
if(hRoot.isIsolatedVertex() || hRoot != uRoot) {
//別の木に渡されているならreplacement edgeである。
*replacementEdge = ei;
return false;
}
//replacement edgeはvisitedEdgesに入れたくないのでこの位置でマークする
[ei] = true;
edgeVisited.push_back(ei);
visitedEdgesreturn true;
}
void addTreeEdge(int ei) {
int v = arcHead[arc2(ei)], w = arcHead[arc1(ei)];
int lv = edgeLevel[ei];
int ti = treeEdgeIndexFreeList.back();
.pop_back();
treeEdgeIndexFreeList[ei] = ti;
treeEdgeIndex[ti] = ei;
treeEdgeMap
[lv].changeEdgeMark(ti, true);
forests
for(int i = 0; i <= lv; i ++)
[i].link(ti, v, w);
forests}
void insertIncidentArc(int a, int v) {
int ei = arcEdge(a);
int lv = edgeLevel[ei];
assert(treeEdgeIndex[ei] == -1);
int next = firstIncidentArc[lv][v];
[lv][v] = a;
firstIncidentArc[a] = next;
nextIncidentArc[a] = -1;
prevIncidentArcif(next != -1) prevIncidentArc[next] = a;
if(next == -1)
[lv].changeVertexMark(v, true);
forests}
void deleteIncidentArc(int a, int v) {
int ei = arcEdge(a);
int lv = edgeLevel[ei];
assert(treeEdgeIndex[ei] == -1);
int next = nextIncidentArc[a], prev = prevIncidentArc[a];
[a] = prevIncidentArc[a] = -2;
nextIncidentArc
if(next != -1) prevIncidentArc[next] = prev;
if(prev != -1) nextIncidentArc[prev] = next;
else firstIncidentArc[lv][v] = next;
if(next == -1 && prev == -1)
[lv].changeVertexMark(v, false);
forests}
void insertNontreeEdge(int ei) {
int a1 = arc1(ei), a2 = arc2(ei);
(a1, arcHead[a2]);
insertIncidentArc(a2, arcHead[a1]);
insertIncidentArc}
void deleteNontreeEdge(int ei) {
int a1 = arc1(ei), a2 = arc2(ei);
(a1, arcHead[a2]);
deleteIncidentArc(a2, arcHead[a1]);
deleteIncidentArc}
public:
(): numVertices_m(0), numSamplings(0) { }
HolmDeLichtenbergThorup
int numVertices() const { return numVertices_m; }
int numMaxEdges() const { return edgeLevel.size(); }
void init(int N, int M) {
= N;
numVertices_m
int levels = 1;
while(1 << levels <= N / 2) levels ++;
//サンプリング数を設定する。適切な値はよくわからない
= (int)(levels * 1);
numSamplings
.resize(levels);
forestsfor(int lv = 0; lv < levels; lv ++)
[lv].init(N);
forests
.assign(M, -1);
edgeLevel
.assign(M, -1);
treeEdgeIndex.assign(N - 1, -1);
treeEdgeMap
.resize(N-1);
treeEdgeIndexFreeListfor(int ti = 0; ti < N-1; ti ++)
[ti] = ti;
treeEdgeIndexFreeList
.assign(M * 2, -1);
arcHead
.resize(levels);
firstIncidentArcfor(int lv = 0; lv < levels; lv ++)
[lv].assign(N, -1);
firstIncidentArc.assign(M * 2, -2);
nextIncidentArc.assign(M * 2, -2);
prevIncidentArc
.assign(M, false);
edgeVisited}
bool insertEdge(int ei, int v, int w) {
assert(0 <= ei && ei < numMaxEdges() && 0 <= v && v < numVertices() && 0 <= w && w < numVertices());
assert(edgeLevel[ei] == -1);
int a1 = arc1(ei), a2 = arc2(ei);
[a1] = w, arcHead[a2] = v;
arcHead
bool treeEdge = !forests[0].isConnected(v, w);
[ei] = 0;
edgeLevelif(treeEdge) {
(ei);
addTreeEdge}else {
[ei] = -1;
treeEdgeIndex//ループは見たくないのでリストにも入れない
if(v != w)
(ei);
insertNontreeEdge}
return treeEdge;
}
bool deleteEdge(int ei) {
assert(0 <= ei && ei < numMaxEdges() && edgeLevel[ei] != -1);
int a1 = arc1(ei), a2 = arc2(ei);
int v = arcHead[a2], w = arcHead[a1];
int lv = edgeLevel[ei];
int ti = treeEdgeIndex[ei];
bool splitted = false;
if(ti != -1) {
[ti] = -1;
treeEdgeMap[ei] = -1;
treeEdgeIndex.push_back(ti);
treeEdgeIndexFreeList
for(int i = 0; i <= lv; i ++)
[i].cut(ti, v, w);
forests
[lv].changeEdgeMark(ti, false);
forests
= !replace(lv, v, w);
splitted }else {
//ループはリストに入ってない
if(v != w)
(ei);
deleteNontreeEdge}
[a1] = arcHead[a2] = -1;
arcHead[ei] = -1;
edgeLevel
return splitted;
}
bool isConnected(int v, int w) const {
return forests[0].isConnected(v, w);
}
};
int main() {
int N, M;
scanf("%d%d", &N, &M);
if((ll)N * (N-1) / 2 - M > N - 1) {
(i, M) {
repint S, T;
scanf("%d%d", &S, &T);
puts("no");
}
return 0;
}
vector<vector<int> > edgeIndex(N);
int totalEdges = 0;
(i, N) {
rep[i].resize(i);
edgeIndex(j, i) edgeIndex[i][j] = totalEdges ++;
rep}
typedef HolmDeLichtenbergThorup FullyDynamicConnectivity;
;
FullyDynamicConnectivity fdc.init(N, totalEdges);
fdc
vector<bool> edgeExist(totalEdges);
int numComponents = N, numEdges = 0;
//最初に完全グラフにする
(i, N) rep(j, i) {
repint ei = edgeIndex[i][j];
-= fdc.insertEdge(ei, i, j);
numComponents [ei] = true;
edgeExist++ numEdges;
}
(i, M) {
repint S, T;
scanf("%d%d", &S, &T), S --, T --;
if(S < T) swap(S, T);
int ei = edgeIndex[S][T];
if(!edgeExist[ei]) {
-= fdc.insertEdge(ei, S, T);
numComponents [ei] = true;
edgeExist++ numEdges;
}else {
+= fdc.deleteEdge(ei);
numComponents [ei] = false;
edgeExist-- numEdges;
}
bool isForest = numEdges == N - numComponents;
puts(isForest ? "yes" : "no");
}
return 0;
}
写在后面,一些垃圾话
三年了。果然 EtaoinWu 还是没有什么长进,写的东西还是三年前的老本呢(笑)
顿感高一的自己是多么能肝,而现在的自己已然颓废。在 osu! 上被推荐到《平凡之路》,五分钟的 beatmap 听到一半渐渐失去理智,遂下楼冷静了一下。感觉自己需要肝一点东西出来证明自己,遂有了这篇。
Reference
- Renato F. Werneck, Design and Analysis of Data Structures for Dynamic Trees.
- J. Holm, K. de Lichtenberg, and M. Thorup, Poly-logarithmic deterministic fully dynamic algorithms for connectivity, minimum spanning tree, 2-edge, and biconnectivity.
- CS166 slides, Standford University.