在中文互联网语境中，魏泽西等事件之后，“竞价排名”，似乎是过街人人喊打的东西。我们来考量一下这种机制背后的原理。理论上来说，一家更优质的企业理应能赚更多钱，因此能给出更高的竞价，从而投放更好的广告。但是，随便在百度上搜索一个医疗相关的名词，都能看到四五条看起来像是野鸡小医院（下称“莆田系医院”；该词在此文中指代所有这类医院，与具体的莆田系无关），而那些知名三甲医院根本就不见踪影。为什么呢？
Part A
我们来考虑如下的一个模型。现在有两个投资机构，第 \(0\) 个是公立医院，第 \(1\) 家是莆田系医院。我们设第 \(i\) 家医院收受每个患者能拿到的收入 (revenue) 是 \(q_i\)。我们考虑每个上百度搜索的人，如果看到了第 \(i\) 家医院的广告，那么有 \(p_i\) 的概率 (popularity) 点进去。我们假设每个点进网页的搜索者都会到那个医院中去就医。我们再假设，有一个常数 \(c\)，表示医院愿意把总收入的 \(c\) 倍拿来做广告宣传。
我们再来看看搜索引擎的竞价排名是怎么实现的。事实上，有两种相对普遍的竞价方式：
- 按点击量竞价：每个医院定一个价格 \(x_i\)，每次搜索，搜索引擎会选择 \(x_i\) 最高的进行展示。如果用户点击了广告，那么医院付给搜索引擎不超过 \(x_i\) 的钱。（实际上会使用一个二价拍卖之类的东西，但在此无需关心）
- 按展出量竞价：每个医院定一个价格 \(y_i\)，每次搜索，搜索引擎会选择 \(y_i\) 最高的进行显示，此时医院付给搜索引擎不超过 \(y_i\) 的钱。
考虑如果 \(p_i,q_i,c\) 给定，每家医院会怎么定自己的竞价呢？
- 如果是按点击量竞价，那么很显然 \(x_i=c\cdot q_i\) 是一个非常明显的策略：每次点击能获得 \(q_i\) 的收益，其中 \(c\) 的比例作为宣传成本，那么 \(c\cdot q_i\) 就是每次点击的宣传成本。
- 如果是按展出量竞价，那么每次点击的宣传成本依然是 \(x_i\)，但是平均每次展出只有 \(p_i\) 次点击，因此每次展出所对应的宣传成本就是 \(y_i=p_ix_i=c\cdot p_iq_i\)，这也是竞价中这家医院的理论标价。
那么，竞价排名选择了标价最高的广告，在这两种模式下，实际上筛选出了两批不一样的广告。按点击竞价筛选出了 \(q_i\) 最大的那些医院，而按展出竞价选出了 \(p_iq_i\) 最大的那些医院。真实世界中，这两个变量意味着什么呢？同一个病人同一个病，展出广告之后，公立医院显然会有更大的点击率 \(p_i\)，但莆田系医院显然有办法在一个病人身上榨取更多的钱 \(q_i\)。事实上，医院不止两家，但整体上来看 \(q_i\) 和 \(p_i\) 应该是负相关的关系。越公益的医院，\(p_i\) 就越高，而 \(q_i\) 也就越低。因此，按点击量竞价选择的 \(q_i\) 高的医院，恰恰是那些不认真吸引客户、而仅仅只是在他们身上捞钱的那些医院。而展出量竞价，选择 \(p_i q_i\) 最高的医院，选择的才是盈利能力最高的医院。
事实上，这个模型定义的这两个变量——revenue 和 popularity，是普适的，而不仅限于医疗、搜索这个场景。如果有一家电话营销机构（假设存在的话），采用竞价的方法选择其营销的产品，那么正常产品会有正常的 \(p_i,q_i\)，而诈骗产品会有较高的 \(q_i\)（毕竟是诈骗，来钱快）和较低的 \(p_i\) （因为被诈骗的人大概不会很多吧，hopefully）。那么对电话营销机构而言，按拨出量计价和按有效接听量计价就会筛选出两种不同的产品类别，而按有效接听量计价可能就会导致电话诈骗横行。
那么，真实世界的广告，是按点击还是按展出竞价的呢？我们来看看一篇往年的新闻：
一般而言，搜索引擎广告的价格决定是‘底价’与‘竞价’决定的。每家搜索引擎对关键词都有一个底价，比如神马的底价是0.45元一次点击，若该关键词竞争不充分，广告主只要支付底价即可。但如果有多个广告主竞争同一个关键词，则是谁出价高谁的可以放在前面，对一些热门行业来说，推广的价格由此水涨船高。
根据该文章，多家广告联盟的计价都是按点击量来算的，因此根据上文的分析，就会导致莆田系医院和诈骗集团这种垃圾被当成金子筛选出来。
我们还有理由相信，之所以广告联盟或者搜索引擎会选择按点击量这样的模式，是因为这对于他们来说利润更高。
Part B
利用这一模型，我们还可以回答另一个问题，即为什么互联网滋生了这么多垃圾产品和诈骗。
对于同一个机构/产品/医院来说，\(p_i\) 和 \(q_i\) 其实并非恒定，而是可以通过其策略来改变的。显然，天上不会掉馅饼，因此 \(p_i\) 和 \(q_i\) 之间明显是负相关的。我们假设每个 \(i\) 都可以在 \(p_i\) 和 \(q_i\) 之间做一个 trade-off，即每个 \(i\) 有一个私有的函数单调递减的函数 \(f_i\) 使得 \(p_i \leq f_i(q_i)\) 总要成立。
那么还是在刚才的那个拍卖的环境下，我们考虑机构/产品/医院的数量不断增多会发生什么。注意到，不管有多少产品，广告位总是一样多的，那么为了在这些产品中脱颖而出，每个产品需要做一些最大化。
如果是按展出量竞价（前面我们认为这是一种健康的方式），我们可以发现每个人会试图最大化 \(p_i q_i\)，那么上述的这个 trade-off 过程和其他产品是没有影响的，即其决策是固定的。
但是，如果竞价是按点击量决定的，那么每个人会希望让自己的 \(q_i\) 尽可能大，这样在产品数量增多的过程中，这些产品会不断内卷。之所以说这是内卷，是因为这整个过程是一个比烂大赛：只有最烂的、\(p_i\) 最小的产品，才有可能整个群体中最大的 \(q_i\)。因此，每个产品为了能在整个广告拍卖的过程中占有一席之地，都会让自己 \(p_i\) 更小、\(q_i\) 更大，换言之，变得更烂。这样的机制，成功地让整个市场往不健康的方向发展。
那为什么互联网环境下这一问题会更为显著呢？传统设定下的产品，往往有多样的宣传途径，某些途径是最大化 \(q\) 的，有些途径是最大化 \(pq\) 的，还有比如说监管、或者如果要品牌塑造的话可能会要最大化 \(p\)，那么整体就会变成一个最大化 \((p+A)(q+B)\) 的过程，因此不太会变成一个单调比烂的过程。但是，互联网生态下，每个产品大约只有五秒钟的寿命，没有监管，并且就像上面那篇新闻所展示的一样，不管你要在什么平台上推广，很可能这些平台全部都是按点击量的、因此要求你最大化 \(q\)，因此在互联网设定下，反而是鼓励了垃圾产品、垃圾医院的产生。
所以，有什么教训呢？首先我们知道按展出量竞价比按点击量竞价更健康；由于搜索引擎选择了按点击量竞价，我们可以相信按点击量竞价对搜索引擎来说利润更高，因此我们可以把这一现象理解为搜索引擎/广告联盟通过剥削整个社会的市场健康来牟利。监管机构有可能通过设定这样的机制来维持整个系统的健康。
Ref
Ostrovsky, M. (2021) ‘Choice Screen Auctions’, in Proceedings of the 22nd ACM Conference on Economics and Computation. ACM EC ’21, Budapest Hungary: ACM, pp. 741–742. doi:10.1145/3465456.3467526.